Bézierkurven - Mathepedia (2025)

In der numerischen Mathematik ist die Bézierkurve eine parametrisch modellierte Kurve. Anfang der 1960er Jahre wurde die Bézierkurve unabhängig voneinander von Pierre Bézier bei Renault und Paul de Casteljau bei Citroën entwickelt.

Definition

Eine Bézierkurve $n$n-ten Grades wird durch $n+1$n+1 Punkte $(P_i)_{i=0}^n$(Pi​)i=0n​ beschrieben und ist (für $0 \leq t \leq 1$0≤t≤1) rekursiv definiert als:

$C(t) := C_0^n(t)$C(t):=C0n​(t)

$C(t)_i^j := \begin{cases} (1-t)C_i^{j-1}(t) + tC_{i+1}^{j-1}(t), & j>0 \\ P_i, & \text{sonst } \end{cases}$C(t)ij​:={(1−t)Cij−1​(t)+tCi+1j−1​(t),Pi​,​j>0sonst​

Löst man diese Rekursion auf erhält man:

$C(t) = \sum\limits_{i=0}^n \binom n i t^i (1-t)^{n-i} P_i$C(t)=i=0∑n​(in​)ti(1−t)n−iPi​$= \sum\limits_{i=0}^n B_{i,n}(t) P_i$=i=0∑n​Bi,n​(t)Pi​

wobei $B_{i,n}$Bi,n​ das $i$i-te Bernsteinpolynom $n$n-ten Grades ist.

Eigenschaften

• Die Kurve liegt innerhalb der konvexen Hülle des Kontrollpolygons. Dies folgt daraus, dass die Bernsteinpolynome vom Grad $n$n eine Zerlegung der Eins sind: $1 = \sum\limits_{i=0}^n B_{i,n}(t)$1=i=0∑n​Bi,n​(t) $t \in [0,1]$t∈[0,1]
• Die Kurve geht genau durch die Endpunkte $P_0$P0​ und $P_n$Pn​:

$C(0) = \sum\limits_{i=0}^n \binom n i 0^i(1-0)^{n-i} P_i = P_0$C(0)=i=0∑n​(in​)0i(1−0)n−iPi​=P0​

$C(1) = P_n$C(1)=Pn​

• Die Tangenten in den Endpunkten sind:

$C'(0) =n \cdot (P_1 - P_0)$C′(0)=n⋅(P1​−P0​),

$C'(1) = n \cdot (P_n - P_{n-1})$C′(1)=n⋅(Pn​−Pn−1​).

• Eine Gerade schneidet eine Bézierkurve höchstens so oft, wie sie ihr Kontrollpolygon schneidet (die Kurve hat eine beschränkte Schwankung).
• Eine affine Transformation (Verschiebung, Skalierung, Rotation, Scherung) kann auf die Bézierkurve durch Transformation des Kontrollpolygons angewendet werden ("affine Invarianz").
• Liegen alle Kontrollpunkte auf einer Geraden, so wird die Bézierkurve zu einer Strecke (Vorteil gegenüber der Polynominterpolation).
• Der Einfluss eines Kontrollpunktes auf die Kurve ist global. D.h.: Verschiebt man einen Punkte, verändert sich die gesamte Kurve. Daher verwendet man in der Praxis meist Splines, zusammengesetzte Kurven festen Grades, die stetig ineinander übergehen.

Als verallgemeinerte Form der Bézierkurve kann die Bézierfläche gesehen werden. Eine Bézierfläche $(n,m)$(n,m)-ter Ordnung ist eine Fläche der Form

$C(u, v) = \sum\limits_{i=0}^n \sum\limits_{j=0}^m P_{i,j} B_{i,n}(u) B_{j,m}(v)$C(u,v)=i=0∑n​j=0∑m​Pi,j​Bi,n​(u)Bj,m​(v),

mit den Kontrollpunkten $P_{i,j}$Pi,j​ und den Bernsteinpolynomen $B_{i,n}(u)$Bi,n​(u) und $B_{j,m}(v)$Bj,m​(v).

Eine Bézierfläche kann also durch zwei zueinander orthogonale Bézierkurven beschrieben werden.

Anwendung

In der Computergrafik werden Bézierkurven zur Definition von Kurven und Flächen im Rahmen von CAD, bei Vektorgrafiken (z. B. SVG) und zur Beschreibung von Schriften (z. B. Postscript Type1 und CFF-Opentype) verwendet.

Eine Bézierkurve kann mit Hilfe des de Casteljau-Algorithmus effizient ausgewertet bzw. gezeichnet werden.

Beispiele

Lineare Bézierkurven (n=1)

Zwei Kontrollpunkte $P_0$P0​ und $P_1$P1​ bestimmen eine lineare Bézierkurve, die einer Geraden zwischen diesen beiden Punkten entspricht. Die Kurve wird angegeben durch

$C(t) = \sum\limits_{i=0}^1 t^i (1-t)^{1-i} P_i$C(t)=i=0∑1​ti(1−t)1−iPi​$=\ (1-t)P_0 + t P_1$=(1−t)P0​+tP1​, $t \in [0,1]$t∈[0,1].

Quadratische Bézierkurven (n=2)

Eine quadratische Bézierkurve ist der Pfad, der durch die Funktion C(t) für die Punkte $P_0,\, P_1$P0​,P1​ und $P_2$P2​ verfolgt wird:

$C(t) = \sum\limits_{i=0}^2 t^i (1-t)^{1-i} P_i$C(t)=i=0∑2​ti(1−t)1−iPi​$=\ (1 - t)^{2}P_0 + 2t(1 - t)P_1 + t^{2}P_2$=(1−t)2P0​+2t(1−t)P1​+t2P2​, $t \in [0,1]$t∈[0,1].

Kubische Bézierkurven (n=3)

Kubische Bézierkurven sind in der Praxis von großer Bedeutung, da sowohl B-Spline-Kurven als auch NURBS stückweise in kubische Bézierkurven umgewandelt werden, um dann effizient mit dem de Casteljau-Algorithmus gezeichnet zu werden.

Vier Punkte ($P_0,\, P_1,\, P_2$P0​,P1​,P2​ und $P_3$P3​) bestimmen eine kubische Bézierkurve. Die Kurve beginnt bei $P_0$P0​ und geht in Richtung $P_1$P1​ und dann aus Richtung $P_2$P2​ zu $P_3$P3​. Im Allgemeinen geht die Kurve nicht durch $P_1$P1​ und $P_2$P2​ - diese Punkte dienen nur der Richtung, wobei $P_1$P1​ die Richtung bestimmt, in welche die Kurve in $P_0$P0​ geht. $P_2$P2​ legt die Richtung fest, aus welcher die Kurve zu $P_3$P3​ geht. Der Abstand zwischen $P_0$P0​ und $P_1$P1​ und der Abstand von $P_2$P2​ und $P_3$P3​ bestimmen, "wie weit" sich die Kurve in Richtung der Kontrollpunkte $P_1$P1​ und $P_2$P2​ bewegt, bevor sie in Richtung $P_3$P3​ läuft.

$C(t) \$C(t)$= \ \sum\limits_{i=0}^3 \binom 3 i t^i (1-t)^{3-i}$=i=0∑3​(i3​)ti(1−t)3−i$= \ (1-t)^3P_0+3t(1-t)^2P_1+3t^2(1-t)P_2+t^3P_3$=(1−t)3P0​+3t(1−t)2P1​+3t2(1−t)P2​+t3P3​$= \ \underbrace{(t^3 t^2 t 1)}_\text{Monome} \underbrace{\begin{pmatrix} -1 & 3 & -3 & 1 \\ 3 & -6& 3 & 0 \\ -3 & 3 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}}_\text{Basismatrix} \underbrace{\begin{pmatrix} P_0 \\ P_1 \\ P_2 \\ P_3 \end{pmatrix}}_\text{Geometrievektor}$=Monome(t3t2t1)​​Basismatrix⎝⎜⎜⎛​−13−31​3−630​−3300​1000​⎠⎟⎟⎞​​​Geometrievektor⎝⎜⎜⎛​P0​P1​P2​P3​​⎠⎟⎟⎞​​​, $t \in [0,1]$t∈[0,1].

Literatur

• Gerald Farin: Curves and Surfaces for CAGD. A practical guide. 5. Aufl. Academic Press, San Diego 2002, ISBN 1-55860-737-4
• David Salomon: Curves and Surfaces for Computer Graphics. Springer Science+Business Media, Inc., 2006, ISBN 0-387-24196-5

Das Buch der Natur ist mit mathematischen Symbolen geschrieben.

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